我们利用边界态形式计算了两个平行三维膜相互作用下开放超弦的对产生率。膜存在于部分致密的时空中。此外，还对它们进行了内规电位和卡尔布-拉蒙场的修饰。
d膜是研究弦理论的有效工具[1,2]。对于研究d膜相互作用，一个合适的方法是边界态形式论[3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29]。由于边界态编码了相应d膜的所有性质，因此它是研究d膜各种构型的有力工具。例如，类似于卡西米尔效应的现象，即从膜系统中产生的开放弦对，就是这些设置之一。玻色子和超弦理论中开放弦的对产生已经在各种论文中进行了研究[30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40]。通过膜相互作用产生的基本弦证明了d膜之间的吸引力[34,35,36,37]。
利用边界态形式，我们将计算两个平行三维膜相互作用产生开放超弦对的速率。这些膜被嵌入到部分致密的时空中。此外，电场和磁场也存在于它们身上。因此，我们首先计算一般膜维p下的闭超弦振幅，然后重写这种情况下的相互作用振幅。对于膜的小分离，相互作用(排斥或吸引)的性质完全是模糊的。然而，环空开超弦振幅是描述这种情况的合适工具。因此，从圆柱幅值，我们将得到后者。单环环幅值使我们能够提取开超弦对产生的速率。事实上，超弦对的产生明显地表明了底层系统的衰减。作为一种特殊情况，将计算膜上特定电磁场的对产生率。我们将看到，紧化，类似于磁场，极大地增加了对的产生率。
本文组织如下。在第2节中，将介绍在背景场存在下与部分紧致dp膜相关的边界状态。在第3节中，将计算由两个平行修饰的dp膜组成的系统的相互作用幅度。在第4节中，我们将通过开超弦对的产生得到两个三维膜体系的衰减率。第五节是结论部分。
我们从闭弦的sigma模型动作开始
(2.1)我们考虑一个恒定的卡布-雷蒙背景场。对于内部U(1)规电位，我们采用恒定场强下的朗道规。我们使用带度规的平坦世界表，它存在于带度规的平坦时空中。注意，dp膜世界体积方向的专用指标为。一些膜方向和一些法线方向在环面上被压缩。因此，下标“n”和“c”分别表示非紧化方向和紧化方向。对于垂直于膜的方向，我们用。
边界态方程的玻色子部分由上述作用相对于，
(2.2)其中为总场强。在闭弦边界上。参数s表示dp膜的位置。第二个方程表明它在边界上消失。因此，第一个方程的最后一项被去掉了。
闭弦运动方程的解为
(2.3)对于非紧化和紧化方向分别为零和。如果方向紧化，它有半径。因此，在这个方向上，闭弦有一个圈数。注意，我们假设时间方向是非紧致的。
通过组合方程。(2.2)和(2.3)边界状态方程取特征
(2.4)最后一个方程表明闭合弦不能绕垂直于膜的紧化方向缠绕。
作用(2.1)在全局世界表超对称下是不变的。因此，通过在玻色子方程(2.2)中使用替换，我们获得了边界态方程的费米子部分
(2.5)其中保留用于应用GSO投影。对于费米子振子这些边界条件有如下形式
(2.6)其中索引q是R-R (NS-NS)扇区的整数(半整数)。正交矩阵具有定义。
现在我们解方程。(2.4)和(2.6)。对于玻色子部分，式(2.4)的解由
(2.7)式中，表示dp膜的张力。该因子来源于存在高斯边界作用的路径积分[41,42,43,44,45]。
式(2.6)给出NS-NS和R-R扇区的边界状态如下所示
与玻色子方程(2.7)相比，这个因素被颠倒了。这是因为在计算路径积分时存在格拉斯曼变量。R-R扇区的零模部分具有如下形式
(2.10)其中A和B表示旋量的32维指标，表示10维时空中的狄拉克矩阵，是R-R零模的真空，C定义电荷共轭矩阵，矩阵U定义
(2.11)传统的符号;;这意味着我们应该用所有矩阵反交换的约定展开指数。因此，对于p的每个值，我们得到有限个数的项。
总边界状态，对应于dp膜，在每个扇区是由物质部分和幽灵部分的乘积给出
(2.12)gso预测的NS-NS和R-R扇区的边界态具有这些形式
(2.13)由于共形鬼和超共形鬼不受背景场的影响，我们采用它们的边界态的标准形式。
边界态的重叠，通过闭弦传播子，给出了两个平行膜之间的树级相互作用振幅。闭弦传播子如下所示
(3.1)其中和是向右和向左移动的总Virasoro发生器，包括玻色子、费米子、共形鬼和超共形鬼部分。通过闭合超弦的交换，总的相互作用振幅就是圆柱振幅。因此，我们获得
(3.2)式中为算子的特征值，为横向非紧化方向的维数。横向紧化方向诱导出第二行-函数。其中-函数来自R-R界别，-和-函数来自NS-NS界别。此外，这些量是正交矩阵的特征值。它们显然取决于膜上的磁场和电场。的整数部分表示为。膜沿非紧化方向的距离为。注意，在第三行中，动量分量是从Eq.(2.4)的第二个方程中提取出来的，即。
从现在开始，为了简化，我们将设置限制在这种情况下。这个维度也适用于将d膜与现实世界联系起来。然而，两个平行的三维膜的幅值具有这个特征
(3.3)我们对函数采用了如下恒等式[46]，
(3.4)根据矩阵的正交性及其特征值的特征，s中有一个是纯虚数，例如:实数s和的值域分别是和。现在考虑膜的小距离(对应于“t”的小值)。因此，式(3.3)的分母的无穷积形式给出因子。因此，振幅的符号将成正比，这是模棱两可的。这表明相互作用(排斥或吸引)的性质显然是模糊的。这种模棱两可表明了一种新现象。确切地说，小t的指数因子和前面的模糊性对这种新现象的发生起着重要的作用。事实上，这种新现象意味着系统的衰变是通过开放超弦对产生的。
利用雅可比变换计算开超弦单环相互作用的幅值。这使我们能够理解上述物理现象的本质。事实上，这种新现象包括开放超弦对的产生，我们将在后面发现。然而，环空振幅具有这一特征
(4.1)给出的是
(4.2)为了获得Eq.(4.1)的这个特征，我们应用了-函数和Dedekind函数的无穷积形式，以及它们的Jacobi变换公式，例如参见文献[46]。
现在，通过应用振幅(4.1)，我们可以得到它的虚部，它显示了开放超弦的对产生，从而显示了底层系统的衰减。在分母中存在因子表示-轴正方向上的简单极点，即k是任意正整数。因此，每个极点分别导致一个开放超弦对的产生，从而导致膜系统的退化。单位体积三维膜的衰变率定义为。因此，我们得到
(4.3)其中，每个三维膜的世界体积用表示，并有定义
(4.4)我们看到，要准确地表达设置参数对衰减率的影响，上述结果非常复杂。因此，作为一个例子，我们将对特殊矩阵和重写前面的速率。因此，让我们选择矩阵，第一(第二)三维膜具有非零电场E和磁场B，如下所示
(4.5)矩阵的特征值和满足方程
(4.6)因此，并拥有的形式
(4.7)对于这个配置，我们接收到的衰减率如下所示
(4.8) (4.9)-函数来自公式(4.1)的第三行。根据我们应用的函数和。因此，式(4.7)的第二式给出。注意，和是由式(4.4)计算出来的。此外，在这种特殊构型中，切向是紧致的。
现在我们计算开超弦对的产生率。根据[47,48]，用术语来表示。因此，我们获得
(4.10)对于非常小的电场在d3膜上，即，式(4.7)给出。这意味着，因此。此外，对于短语和的有限值，式(4.10)中的4个s约为1。最后，在这个极限下，开超弦对产生的速率为
(4.11)我们观察到，磁场显著地提高了对的产生率。虽然包含电场的两个因素非常小，但通过增加磁场，速率可以调整到任何理想的值。在这种情况下，紧化半径和应该足够小。正如我们所看到的，电场的存在在开放超弦对的产生中起着巨大的主要作用，正如预期的那样。
让我们在非紧化时空中重写这个方程。因此，我们应该替换和。因此，我们收到
(4.12)方程的指数因子。(4.11)和(4.12)详细说明了通过紧致某些空间方向可以提高对的产生率。
摘要
1 介绍
2 D的相关边界态 p膜
3.D p膜的相互作用
4 开超弦对产生的速率
5 结论
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参考文献
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在超弦理论的背景下，我们引入了一个与dp膜相关的边界态，其中一些纵向和横向方向在环面上被压缩。膜被电场和磁场包裹着。给出了闭超弦振幅。之后，我们将圆柱振幅改为环空振幅。
1环环幅值使我们能够通过开放超弦的对产生计算两个平行三维膜系统的衰减率。由于膜上的背景场是任意的和不同的，所以上述速率得到了广义形式。然而，为了清晰起见，我们在膜上选择了特殊的电场和磁场。因此，我们观察到对于小电场，对产生率与紧化子空间中的膜距离无关。此外，与非紧化时空相比，这种特殊构型表明紧化提高了对产生速率的值。此外，磁场也提高了速率。此外，为了获得非零对产生率，显然需要电场在膜之间诱导极化区域。
下载原文档：https://link.springer.com/content/pdf/10.1140/epjcs10052-023-11890-4.pdf
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